Les Points de Lagrange. Didactique.

Au 16ième et 17ième siècle, les célèbres Copernic, Tycho Brahé, Kepler et Newton comprirent et décrivirent les lois fondamentales de la mécanique céleste et de la gravitation. Puis au 18ième siècle le mathématicien Joseph Louis Lagrange déduisit mathématiquement qu'un couple d'astres en interaction gravitationnelle (par exemple le Soleil et la Terre) possédait dans son voisinage 5 zones ou points d'équilibre, qu'on nomma les points de Lagrange. Le schéma ci-dessous montre les emplacements des 5 points de Lagrange du couple Terre-Soleil.

	Trois sont instables, il s'agit de L1, L2 et L3 situés sur l'axe Terre-Soleil. Un objet placé sur un de ces points sera dans un équilibre précaire (comme lorsqu'on met une balle au sommet d'une vasque renversée) au bout de quelques temps il tendra à s'en écarter et dérivera dans une orbite solaire ou terrestre. Les deux autres, L4 et L5, sont stables (imaginons cette fois la même balle à l'intérieur d'une vasque) et sont situés réciproquement aux sommets de deux triangles équilatéraux ayant comme base commune le segment Soleil-Terre. Les points L3, L4 et L5, étant sur l'orbite terrestre il est relativement facile de les positionner géométriquement. L3 est diamétralement opposé à la Terre donc en permanence à 1 UA (Unité Astronomique) derrière le Soleil. L4 et L5 sont aux sommets des triangles équilatéraux par conséquent L4 se situe sur l'orbite terrestre à 1 UA en avant de la Terre, tandis que L5 se situe à 1 UA en arrière de la Terre.

Tout comme les courbes de niveaux permettent de visualiser le relief sur une carte géographique, les équipotentielles des lobes de Roche permettent de voir le "relief" gravitationnel dans l'environnement des astres. Sur la figure ci-contre nous retrouvons tous les éléments du schéma précédent, associés à ces équipotentielles lesquelles sont représentées en lignes marrons, tandis que les points de Lagrange sont en bleu. On constate que des lignes équipotentielles se referment autour de L4 et L5 qui se trouvent ainsi à l'intérieur d'une zone close, d'où la stabilité qui en résulte. La situation de L1, L2 et L3 est différente puisque leurs zones respectives sont "ouvertes" avec plusieurs échappatoires possibles, d'où le phénomène d'instabilité.

Comment calculer la position de L1 ?

La position de L1 est plus délicate à définir.

Considérons déjà la situation où un corps de masse faible gravite autour d'un autre corps de masse importante selon une orbite circulaire ou quasi-circulaire, comme c'est le cas de la Terre autour du Soleil. Cela nous permet de simplifier le problème:
- d'une part en estimant que le centre de gravité du Soleil et le centre de gravité du couple Soleil-Terre sont confondus,
- et d'autre part en négligeant occasionnellement la masse de la Terre dans les formules lorsque cela ne fausse pas le résultat outre mesure.

Une façon de voir les choses est de considérer que notre objet (la Terre) est dans une situation d'équilibre entre la force d'attraction que le Soleil exerce sur elle et la force centrifuge engendrée par le mouvement circulaire de sa révolution solaire comme le schéma suivant le montre.

Mathématiquement cet équilibre est représenté par l'équation suivante (formule simplifiée):

Force d'attraction du Soleil	=	Force centrifuge
G * M / D²	=	V² / D
terme (A)	=	terme (B)

où on a :
G : constante de gravitation universelle
M : masse du Soleil en kg
D : distance Terre-Soleil en mètres
V : vitesse de la Terre en m/s/s

Premier terme (A):force de gravitation ou attraction solaire
G * M / D² = 6,67E-11 * 1,989E+30 / (150E+9)² = 0,0059 m/s/s (A)

C'est la même formule qui nous permet de calculer la pesanteur à la surface terrestre, dans ce cas :
G * Masse de la Terre en kg / (Rayon de la Terre en mètres)^²
6,67E-11 * 5,974E+24 / 6371000^² = 9,8 m/s/s (en terme d'accélération cette valeur correspond à 1 g)

Lorsque l'on attache un objet à une ficelle et qu'on le fait tourner en tenant l'autre extrémité de la ficelle à la main, c'est la force centrifuge qui tend la ficelle dès que l'on atteint une certaine vitesse de rotation.
Avec une ficelle de 1 mètre,
1) si l'objet fait un tour en 1 seconde la force centrifuge est de :
V² / D = (2 * Pi)² / 1 = 39,5 m/s/s soit près de 4 fois la pesanteur terrestre, ce qui explique pourquoi la ficelle reste parfaitement tendue lorsque l'objet passe en haut à la verticale de la main.
2) si l'objet fait un tour en 2 secondes la force centrifuge est de :
V² / D = (Pi)² / 1 = 9,9 m/s/s soit très légèrement supérieure à la pesanteur, lorsque l'objet passe à la verticale de la main les deux forces, pesanteur et centrifuge, sont pratiquement équivalentes, la ficelle reste tendue mais ne supporte plus aucun effort de tension.
3) si l'objet ralenti encore et fait un tour en plus de deux secondes, la force centrifuge ne compensera plus la pesanteur et l'objet chutera lorsqu'il passera au-dessus de la main.

On constate bien que ces deux valeurs A et B sont égales et c'est justement cette égalité permanente des deux forces opposées qui est la particularité d'une orbite circulaire. Dans une orbite elliptique l'une est supérieure à l'autre alternativement.
Maintenant considérons un objet de masse modeste placé sur le point de Lagrange L1 du couple Terre-Soleil (schéma ci-dessous).
	Cet objet étant plus proche du Soleil que la Terre, il subira une attraction solaire un peu plus forte mais la force centrifuge sera plus faible du fait qu'en se déplaçant à la même vitesse angulaire que la Terre sa vitesse circulaire propre est nettement inférieure à celle de la Terre. Par contre il subira l'attraction de la Terre qui finalement assurera l'équilibre des forces (schéma ci-dessous).

La relation s'écrit (formule simplifiée):
Attraction du Soleil	=	Force centrifuge	+	Attraction de la Terre
*G M / R²**	=	V² / R	+	*G m / r²**
terme (A)	=	terme (B)	+	terme (C)

`où on a :`	`G = constante de Gravitation`
	`M = masse du Soleil`
	`m = masse de la Terre`
	`R = distance L1-Soleil`
	`r = distance L1-Terre`
	`D = distance Soleil-Terre`

Dans le cas envisagé ici, le second terme V² / R peut s'écrire après développement:R * G * M / D³ (voir détails)
Puis on peut remplacer R par son équivalent (D - r)
On a alors :
G * M / (D - r)² = (D - r) * G * M / D³ + G * m / r²

En solution nous obtenons : distance L1-Terre, r = 1 492 000 Kms
Le point L1 se trouve donc a 1 centième de la distance Terre-Soleil, ou encore à peu près 4 fois plus loin que l'orbite de la Lune.

Comment calculer la position de L2 ?

De nouveau considérons un objet de masse modeste placé, non plus en L1, mais au point de Lagrange L2 du couple Terre-Soleil (schéma ci-dessous).

Cet objet circulant à la même vitesse angulaire que la Terre sa vitesse circulaire est donc supérieure à celle d'un objet isolé gravitant sur une orbite identique. En conséquence il subit une force centrifuge également supérieure, laquelle sera équilibrée par l'attraction solaire cumulée à l'attraction terrestre comme le montre le schéma ci-dessous.

Attraction du Soleil	+	Attraction de la Terre	=	Force centrifuge
*G M / R²**	+	*G m / r²**	=	V² / R
terme (A)	+	terme (C)	=	terme (B)


`où on a :`	`G = constante de Gravitation`
	`M = masse du Soleil en kilogramme`
	`m = masse de la Terre en kilogramme`
	`R = distance L1-Soleil en mètres`
	`r = distance L1-Terre en mètres`
	`D = distance Soleil-Terre en mètres`

Tout comme dans le cas précédent, le troisième terme V^² / R peut s'écrire après développement:*R G * M / D^³ Par contre la valeur de R à changer, son équivalent est maintenant (D + r) On a alors : G * M / (D + r)² + (D + r) * G * M / D³ = G * m / r²** En solution nous obtenons : distance L2-Terre, r = 1 502 000 Km Comparativement au point L1, la distance à la Terre du point L2 est supérieure de seulement 10 000 Km

Note: Cette page web ayant un but didactique, le problème a été simplifié au maximum en considérant le cas idéal où les trois objets gravitent dans la même plan avec une orbite circulaire (ou considérée circulaire). D'autre part, les formules ont été parfois simplifiées également. Néanmoins la démarche et les résultats donnent une idée relativement proche de la réalité.